二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 二次函數(shù)重難點(diǎn)

來源：好上學(xué) ??時(shí)間：2023-07-26

高考是一個(gè)是一場千軍萬馬過獨(dú)木橋的戰(zhàn)役。面對(duì)高考，考生總是有很多困惑，什么時(shí)候開始報(bào)名？高考體檢對(duì)報(bào)考專業(yè)有什么影響？什么時(shí)候填報(bào)志愿？怎么填報(bào)志愿？等等，為了幫助考生解惑，好上學(xué)整理了二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 二次函數(shù)重難點(diǎn)相關(guān)信息，供考生參考，一起來看一下吧

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 二次函數(shù)重難點(diǎn)

　　函數(shù)既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，考試中，很多同學(xué)都“栽”在這上面了。如果不把二次函數(shù)弄清楚，其它由函數(shù)拓展的知識(shí)點(diǎn)可能也會(huì)不理解。所以為了大家更加方便去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，小編在此獻(xiàn)上二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一份。

　　I.定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<><0時(shí)，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<><0時(shí)，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<><0時(shí)，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<>

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

　　II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　　一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

　　頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k?[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

　　交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)?[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和?B(x2，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

　　h=-b/2a?k=(4ac-b^2;)/4a?x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

　　III.二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

　　x?=?-b/2a。

　　對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

　　P?[?-b/2a?，(4ac-b^2;)/4a?]。

　　當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=?b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

　　3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。<><0時(shí)，拋物線向下開口。<><0時(shí)，拋物線向下開口。<><0時(shí)，拋物線向下開口。<>

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

　　當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;

　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。<><0)，對(duì)稱軸在y軸右。<><0)，對(duì)稱軸在y軸右。<><0)，對(duì)稱軸在y軸右。<>

　　5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　Δ=?b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ=?b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ=?b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。<><0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。<><0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。<><0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。<>

　　V.二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c，

　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，

　　即ax^2;+bx+c=0

　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　畫拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。

　　二次函數(shù)解析式的幾種形式

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c?(a,b,c為常數(shù)，a≠0).

　　(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

　　(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.

　　說明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)

　　如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對(duì)稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2;如果對(duì)稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k

　　定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<><0時(shí)，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<><0時(shí)，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<><0時(shí)，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<>

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

　　x是自變量，y是x的函數(shù)

　　二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　?、僖话闶剑簓=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

　?、陧旤c(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn)?P(h，k)?]：y=a(x-h)^2+k

　?、劢稽c(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn)?A(x1,0)?和?B(x2,0)?的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)

　　以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

　　①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系

　　對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即

　　h=-b/2a=(x1+x2)/2

　　k=(4ac-b^2)/4a